Introduktion til usikkerhedskvantificering for inverse problemer

• Formulere og modellere inverse problemer.
• Anvende Monte Carlo-metoder og vurdere deres konvergens.
• Diskretisere Gaussiske uendelig-dimensionelle stokastiske variable (fx. Karhunen-Loéve-ekspansion).
• Anvende en statistisk tilgang til at løse inverse problemer (fx. via ”maximum likelihood”-estimering).
• Beskrive modellerings- og beregnings-elementer af den Bayesianske tilgang til inverse problemer.
• Formulere forskellige typer støjmodeller og priors (fx konjugerede priors).
• Beskrive relevante Bayesianske strategier og implementere de tilsvarede beregingsmetoder for praktiske problemer (fx Markov chain Monte Carlo).
• Fortolke og forstå UQ-resultater.
• Bruge softwarepakken CUQIpy.

Kurset beskriver fundamentale aspekter of “uncertainty quantification” (UQ, usikkerhedskvantificering) for inverse problemer. Vægten ligger på både beregningsmetoder (fx Monte Carlo, ”random field”-diskretisering, Markov chain Monte Carlo) og teoretiske aspekter (fx simple beviser, konvergensegenskaber, well-posedness).

Vi starter med en generel introduktion til UQ og sandsynlighedsteori, via simple eksempler som viser hvad UQ er, og hvad vi bruger det til. Vi vil også dække Monte Carlo-metoder til simulering af stokastiske variable og estimering. Derefter gennemgår vi basale elementer af UQ for ”forward”-problemer med fokus på modellering og diskretisering af stokastiske variable og ”random fields” samt ”forward well-posedness”; de tilhørende beregningseksempler vi også blive introduceret hér. Hovedemnet for kurset er UQ for inverse problemer – vi vil præsentere simple inverse problemer samt den statistiske tilgang til at løse dem med vægt på Bayesiansk inferens, dvs. hvordan likelihood/støj-modeller og priors indgår som elementer af regularisering. Løsningen af Bayesianske inverse problemer, i form af statistiske posteriors, beregnes vha. Markov chaing Monte Carlo-sampling.

Vi beskriver også hvorledes inverse problemer formuleres og løses i en statisktisk ramme ved hjælp af softwarepakken CUQIpy, og vi gennemgår hvorledes brugeren efter behov kan justere beregningsmetoderne i denne pakke.

Målet med kurset er at give praktisk erfaring, dvs. de studerende vil lære at anvende metoder og fortolke resultaterne, og derfor vil forelæsningerne blive fulgt op med praktiske øvelser.

Erfaring med sandsynlighedsteori (fx 02405), inverse problemer (fx 02624), numeriske beregninger (fx 02601), funktionalanalyse (fx 01715) er en fordel.

Forelæsninger og øvelser (teori og beregninger)