Introduktion til Bayesianske inverse problemer

• Formulere og modellere inverse problemer.
• Anvende Monte Carlo-metoder og vurdere deres konvergens.
• Diskretisere kontinuerlige stokastiske variable ved Karhunen-Loéve-ekspansion.
• Anvende en statistisk tilgang til at løse inverse problemer (fx. via ”maximum likelihood”-estimering).
• Beskrive modellerings- og beregnings-elementer af den Bayesiansk tilgang til inverse problemer.
• Formulere forskellige typer støjmodeller og priors (fx konjugerede priors).
• Beskrive relevante Bayesianske strategier og implementere de tilsvarede beregingsmetoder for praktiske problemer (fx Markov chain Monte Carlo).
• Fortolke og forstå usikkerhedskvantificering (UQ) resultater.
• Bruge softwarepakken CUQIpy.

Kurset beskriver fundamentale aspekter of Bayesianske inversion. Vægten ligger på både beregningsmetoder (fx Monte Carlo, ”random field”-diskretisering, Markov chain Monte Carlo) og teoretiske aspekter (fx simple beviser, konvergensegenskaber, well-posedness).

Vi starter med en generel introduktion til Bayesiansk ramme og sandsynlighedsteori, via simple eksempler som viser hvad Bayesiansk tilgang er, og hvad vi bruger det til. Vi vil også dække Monte Carlo-metoder til simulering af stokastiske variable og estimering. Hovedemnet for kurset er Bayesiansk tilgang for inverse problemer – vi vil præsentere simple inverse problemer samt den statistiske tilgang til at løse dem med vægt på Bayesiansk inferens, dvs. hvordan likelihood/støj-modeller og priors indgår som elementer af regularisering. Løsningen af Bayesianske inverse problemer, i form af statistiske posteriors, beregnes vha. Markov chaing Monte Carlo-sampling.

Vi beskriver også hvorledes inverse problemer formuleres og løses i en statisktisk ramme ved hjælp af softwarepakken CUQIpy, og vi gennemgår hvorledes brugeren efter behov kan justere beregningsmetoderne i denne pakke.

Målet med kurset er at give praktisk erfaring, dvs. de studerende vil lære at anvende metoder og fortolke resultaterne, og derfor vil forelæsningerne blive fulgt op med praktiske øvelser.

Erfaring med sandsynlighedsteori (fx 02405), inverse problemer (fx 02624), numeriske beregninger (fx 02601), funktionalanalyse (fx 01715) er en fordel.

Forelæsninger og øvelser med teori og beregninger. Projektarbejde ved kursets afslutning.