Enkeltfag Engelsk 5 ECTS

Diffusioner og stokastiske differentialligninger

Overordnede kursusmål

Kurset forbinder teoretien for differentialligninger drevet af støj med teorien for molekylær diffusion. Det sætter den studerende i stand til at bygge og undersøge modeller af hvordan støj og usikkerhed propagerer gennem dynamiske systemer. Dette kan bruges for tidsrækkeanalse, og for dynamisk beslutningsteori under usikkerhed, d.v.s. stokastisk kontrolteori. Kurset indeholder teori for stokastiske differentialligninger, stokastisk analyse, og anvendelser til ingeniørproblemer.

See course description in English

Definere og beskrive diffusion og Brownsk bevægelse
Beregne stokastiske integraler, først og fremmest Ito-integraler, og anvende reglerne fra stokastisk analyse
Bygge stokastiske dynamiske modeller ved at kombinere sædvanlige differentialligninger med modeller af hvordan støj påvirker systemet.
Forklare hvordan en given stokastisk differentialligninger svarer til en bestemt transportligning af advektions/diffusionstype
Undersøge egenskaberne for en stokastisk differentialligninger hvad angår trajektorier og overgangssandsynligheder, både analytisk og numerisk.
Implementere et tilstandsestimationsfilter for at analysere tidsrækker baseret på en stokastisk differentialligning
Identificere den optimale strategi til at styre et system under tilstædeværelse af støj
Evaluere vigtigheden af at inkludere støj i studiet af et givet system

Kurset starter med advektiv og diffusive transport, og Monte Carlo simulering af et molekyle i en væskestrøm. Vi vender os derefter mod Brownsk bevægelse og stokastiske integraler, og etablerer Ito-integralet. Vi definerer stokastiske differentialligninger og dækker analytiske og numeriske teknikker til at løse dem. Vi beskriver overgangssandsynlighederne for løsninger til sde’er, og etablerer Kolmogorovs fremad- og bagudligninger, inklusiv randbetingelser/randadfærd. Vi betragter stokastisk filtrering i sde’er med målinger i diskret tid, stokastisk stabilitet, og stokastisk kontrol. Teorien er illustreret med anvendelser i ingeniørfagene, fysik, biologi, og oceanografi.

01035/02407/02417/02443/01617/01418, Kurset antager at den studerende har været eksponeret for stokastiske processer; for eksempel gennem 02407, 02417 eller 02443, og er velbekendt med ikkelineære dynamiske systemer, f.ek.s 01617. En vis eksponering for partielle differentialligninger antages; f.eks. 01418. Programmering med R, python, Matlab, e.l, antages. Teoretiske koncepter og konstruktioner er centrale for kurset så en vis matematisk modenhed er en forudsætning.