Differentialgeometri

• Beskrive og anvende lokale kort (og diffeomorfe kort-skift) for Riemannske mangfoldigheder, især med henblik på at repræsentere de Riemannske metrikker som konkrete indicatrix-felter i kort-domænet.
• Beskrive, genkende, og anvende isometrier og konforme afbildninger mellem Riemannske mangfoldigheder.
• Beskrive og anvende tangentrum, vektorfelter som derivationer og deres integralkurver som deformationsafbildninger (flow maps).
• Bestemme og benytte Lie-afledet, gradient, divergens, Hessiant, og Laplace operatorer på Riemannske mangfoldigheder.
• Anvende tensorbegrebet til håndtering af multilineære sammenhænge især i forbindelse med krumningstensoren og dens kontraktioner.
• Forklare og anvende Levi-Civita konnektionen i en Riemannsk mangfoldighed.
• Forklare indre-geometriske egenskaber ved paralleltransport på flader og i Riemannske mangfoldigheder.
• Bestemme geodætiske kurver og eksponential-afbildningen og logaritme-afbildningen for givne Riemannske mangfoldigheder.
• Forklare opstilling og betydning af krumningstensoren, Ricci-krumningen, snitkrumningen, og skalarkrumningen for Riemannske mangfoldigheder.
• Anvende første og anden variation af buelængden til opnåelse af globale geometriske og topologiske konsekvenser af begrænsninger på krumningstensorerne.
• Håndtere simple udvidelser af ovennævnte elementer fra Riemannsk geometri til Lorentz og Finsler mangfoldigheder.
• Anvende differentialgeometriske begreber og metoder i et bredt spektrum af moderne og signifikante modellerings-scenarier.

Diffeomorfier; tangentrum; metriske tensorer; Poincaré modeller; isometrier; Lie-afledet; Killing vector-felter; Levi-Civita konnektionen; covariant afledet; parallel transport; geodætiske kurver; vindellinjer og cirkler i Riemannske 3-mangfoldigheder; fundamentale differential-operatorer; Laplace ligningen; Exponential-afbildningen; Logaritme-afbildningen; første og anden variation af buelængde-funktionalet; geodætiske kugler og kugleflader og deres volumener; krumningsoperatoren; krumningstensoren; snitkrumning; Ricci krumning; skalar krumning; Einstein tensoren; simple anvendelser i Newton’sk mekanik, almen relatvitetsteori, kosmologi, og til Finsler geometrisk analyse af anisotrope fænomener.

01125/01237, Grundlæggende begreber og resultater fra matematisk analyse, geometri, og lineær algebra forudsættes bekendt.

Hver uge: to timers forelæsning og to timers øvelser.