Enkeltfag Engelsk 5 ECTS

Differentialgeometri

Overordnede kursusmål

Målet med kurset er med udgangspunkt i de grundlæggende lokale koordinat-repræsentationer af generelle Riemannske mangfoldigheder at skabe og anvende en robust teoretisk baggrund for studiet af global geometrisk analyse på mangfoldigheder samt for en lang række avancerede anvendelser af differentialgeometriske metoder og resultater.

See course description in English

Læringsmål

  • Beskrive og anvende lokale kort (og diffeomorfe kort-skift) for Riemannske mangfoldigheder, især med henblik på at repræsentere de Riemannske metrikker som konkrete indicatrix-felter i kort-domænet.
  • Beskrive, genkende, og anvende isometrier og konforme afbildninger mellem Riemannske mangfoldigheder.
  • Beskrive og anvende tangentrum, vektorfelter som derivationer og deres integralkurver som deformationsafbildninger (flow maps).
  • Bestemme og benytte Lie-afledet, gradient, divergens, Hessiant, og Laplace operatorer på Riemannske mangfoldigheder.
  • Anvende tensorbegrebet til håndtering af multilineære sammenhænge især i forbindelse med krumningstensoren og dens kontraktioner.
  • Forklare og anvende Levi-Civita konnektionen i en Riemannsk mangfoldighed.
  • Forklare indre-geometriske egenskaber ved paralleltransport på flader og i Riemannske mangfoldigheder.
  • Bestemme geodætiske kurver og eksponential-afbildningen og logaritme-afbildningen for givne Riemannske mangfoldigheder.
  • Forklare opstilling og betydning af krumningstensoren, Ricci-krumningen, snitkrumningen, og skalarkrumningen for Riemannske mangfoldigheder.
  • Anvende første og anden variation af buelængden til opnåelse af globale geometriske og topologiske konsekvenser af begrænsninger på krumningstensorerne.
  • Håndtere simple udvidelser af ovennævnte elementer fra Riemannsk geometri til Lorentz og Finsler mangfoldigheder.
  • Anvende differentialgeometriske begreber og metoder i et bredt spektrum af moderne og signifikante modellerings-scenarier.

Kursusindhold

Diffeomorfier; tangentrum; metriske tensorer; Poincaré modeller; isometrier; Lie-afledet; Killing vector-felter; Levi-Civita konnektionen; covariant afledet; parallel transport; geodætiske kurver; vindellinjer og cirkler i Riemannske 3-mangfoldigheder; fundamentale differential-operatorer; Laplace ligningen; Exponential-afbildningen; Logaritme-afbildningen; første og anden variation af buelængde-funktionalet; geodætiske kugler og kugleflader og deres volumener; krumningsoperatoren; krumningstensoren; snitkrumning; Ricci krumning; skalar krumning; Einstein tensoren; simple anvendelser i Newton’sk mekanik, almen relatvitetsteori, kosmologi, og til Finsler geometrisk analyse af anisotrope fænomener.

Anbefalede forudsætninger

01125/01237, Grundlæggende begreber og resultater fra matematisk analyse, geometri, og lineær algebra forudsættes bekendt.

Undervisningsform

Hver uge: to timers forelæsning og to timers øvelser.

Se kurset i kursusbasen

Tilmelding

Sprog

Engelsk

Varighed

13 uger

Institut

Compute

Sted

DTU Lyngby Campus

Kursus ID 01238
Kursustype Kandidat
Semesterstart Uge 5
Semester slut Uge 19
Dage tors 8-12
Pris

7.500,00 kr.

0 pladser tilbage

Tilmelding